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フィボナッチ比率を作るものは何ですか

フィボナッチ比率を作るものは何ですか
21はフィボナッチ数です。

フィボナッチ数と黄金比【第77号】

ローマ数字では 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 が I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X になります.また 50, 100, 500, 1000 はそれぞれ L, C, D, M になります.基本的には大きい数字から小さい数字を並べて,全てを足し合わせます.例えば2021は1000が二つ,10が二つ,1が一つですからMMXXIになります.また10までの数字と同じく,小さい数字を大きい数字の左側に書いた場合は,大きい数字から小さい数字を引きます.例えば300は100が三つなのでCCCですが,400は500から100を引くのでCDになります.

と書かれているのですが,単語の先頭の文字だけ拾っていくと MDCIII つまり1603で,エリザベス1世の崩御の年を示しています.

自然界に出てくるフィボナッチ数

ヒマワリの種 (L. Shyamal, CC BY-SA 2.5)

美術で見かける黄金比

数学者はよく n 番目のフィボナッチ数を F(n) と書きます.例えば F(0) = 0, F(1) = 1,F(2) = 1, F(3) = 2 フィボナッチ比率を作るものは何ですか ですね.

フィボナッチ数 F(n) と F(n-1) の比率のことを一般に φ(n) と書きます.簡単に書くと

φ(n) = F(n) / フィボナッチ比率を作るものは何ですか F(n-1)

ですね.ギリシア文字φは「ファイ」または「フィー」と呼びます.「ダ・ヴィンチ・コード」のロバート・ラングドン教授は φ を「フィー」と呼んでいました.

例えば φ(2) = F(2)/F(1) = 1/1 なので φ(2) = 1 です.また φ(3) = フィボナッチ比率を作るものは何ですか F(3)/F(フィボナッチ比率を作るものは何ですか 2) = 2/1 なので φ(3) = 2 です.もう少しお付き合いください.今度は フィボナッチ比率を作るものは何ですか φ(4) = F(4)/F(3) = 3/2 なので φ(4) = 1.5 です.このように n が大きくなっていくと φ(n) の値は大きくなったり小さくなったりしながら,ある値に近づいていきます.

そして n がうんと大きくなったとき φ(n) の値は 1.618… になります.この値は「黄金数 (golden number)」と呼ばれています.黄金数のことは単に φ と書きます.

長方形の縦横を 1:φ の比率にすると,人間の目には大変心地よく見えるようで,この比率のことを「黄金比」と呼びます.例えば「名刺」の縦横比は黄金比にかなり近いです.日本の名刺の一般的なサイズは55ミリメートル掛ける91ミリメートルなので,縦横比は 55:91 ですが,これはおおよそ フィボナッチ比率を作るものは何ですか 1:1.65 なので 1:φ に近い数字になります.

またある長さを 1:φ になるように分割することを「黄金分割」と呼びます.黄金分割のような直線上の比率も同じく「黄金比」と呼びます.黄金比は他にも,正五角形の頂点を結んだ「星形」の辺の比率に現れたりもします.

幾何学図形に黄金比が現れる例.正五角形の頂点を結んだ星形にも黄金比1:φが現れる.

ギザの大ピラミッド (Matson Collection - Library of CongressCatalog, Public Domain)

ピラミッドに現れる黄金比?--大ピラミッドの b:a が 1:φ に「近い」

そこで大ピラミッドの設計でも「黄金比を意識したはずだ」という意見が世の中にはあります.古代エジプト人が好んだ,各辺の長さの比率が「3:4:5」の直角三角形の場合,底辺(3)と斜辺(5)の長さの比率は 3:5 すなわち,おおよそ 1:1.667 になります.この値は 1:φ に近いため,古代エジプト人が「3:4:5」の直角三角形を好んだのではないか,またピラミッドの角度も「3:4:フィボナッチ比率を作るものは何ですか 5」の直角三角形から決めたのではないか,とする説があります.

残念ながら,この「黄金比ピラミッド」説はかなりあやふやです.そもそもピラミッドの斜面の角度が 3:5 になっていませんし.

アップル社のロゴ (Thiago Barcelos)

例えばアップル社のロゴにはフィボナッチ数と黄金比が隠されていることが,デザイナのティアゴ・バルセロス (Thiago Barcelos) 氏によって発見されています.

厳選!フィボナッチ・フルコース~フィボナッチ数のマニアックな世界へ~

ただし、\(F_1=F_2=1\)とします。これは漸化式といって、前の番号の数の情報によって新たな数が構成されていく仕組みになっています。こうして得られる数列をフィボナッチ数列、そしてフィボナッチ数列に現れる数をフィボナッチ数と呼びます。
フィボナッチ数は前2つの数を足すことによって構成していきます。例えば、1番目と2番目は\(1\)であることから3番目は\(1+1=2\)。4番目は\(1+2=3\)、5番目は\(2+3=5\)となります。最初のいくつかのフィボナッチ数を求めてみましょう。

2.フィボナッチ・フルコース

①.フィボナッチ数の整除性(オードブル)

\(p\) を\(5\)で割って\(1\)または\(4\)余る素数とする(たとえば\(11\), \(19\)など)。このとき\(p-1\)離れたフィボナッチ数たちの差は必ず\(p\)の倍数になる。つまり、以下が成り立つ。

これは中々エキゾチック。ちょっと確かめてみましょう!
\(p=11\) とします。適当に8番目のフィボナッチ数\(F_8=21\)をとってきましょう。定理によると\(p-1=10\)個進んだ18番目のフィボナッチ数\(F_\)を見てみます。すると\(F_=2584\)。結構大きい数になりますね。果たして差は\(11\)の倍数になるのでしょうか?さっそく計算してみましょう。

$$F_-F_9=4181-34=4147=11 \times 377$$

②.Lameの定理(スープ)

なんと、Euclidの互除法の回数は\(5n\)回で評価できるのです。しかも、隣り合うフィボナッチ数のペアの場合、最も作業回数が多い(めんどくさい)とのこと!
例えば、\(144\)と\(89\)のペアを考えて互除法を行いましょう。このとき小さい方の\(89\)の桁は\(2\)桁なので、定理によると\(5\times 2=10\)回も互除法を行わなければならないようです。実際に

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